Cuadro de ángulos notables

Dicen que "la necesidad agudiza el ingenio", debo enseñar funciones trigonométricas pero mis alumnos no pueden acceder a una calculadora científica.
Así que recordé este cuadro de ángulos notables y lo quiero compartir:
Dibujo un cuadro de 6 columnas y 4 filas ó renglones:
             0º     30º ó π/6     45º ó π/4     60º ó π/3    90º ó π/2


sen α

Cos α

Tg α
Escribo en la 2da. fila desde el 0 hasta el 4. luego calculo su raíz cuadrada y divido por 2:


Resuelvo las raíces y simplifico:

Cículo Trigonométrico y Radián

Te presento dos herramientas necesarias para las gráficas de funciones trigonométricas.
 Dibujamos un círculo que tenga su centro en el origen de coordenadas y su radio sea 1 llamado Círculo Trigonométrico ó Circunferencia Trigonométrica.

A este círculo lo dividiremos aplicando la medida del Radián, que es una unidad para medir ángulos. Al radián se lo representa en el ángulo central del círculo unitario que subtiende un arco cuya longitud es igual a la del radio
 Partiendo del ángulo alfa de un giro que mide 360º y la medida del arco partiendo de un punto y volviendo al mismo tendremos:

 1 rad = 360º/2·π = 180º / π ~ 57º 17' 45"
De esta manera, obtendremos algunas equivalencias: 0° = 0 Radianes
90° = ½ π Radianes

180° = π Radianes

270° = (3/2) π Radianes
360° = 2π Radianes
 Para convertir de grados a radianes, se multiplica por PI y se divide entre 180º; y se simplifica. Es decir:
 
Si necesito convertir de radianes a grados, se multiplica por 180º y se divide entre PI ; y se simplifica. Es decir:





Finalmente, si quiero seguir dividiendo nuestro círculo trigonométrico quedará de esta manera:

Función Cuadrática

Existen situaciones de la vida, fenómenos de la naturaleza ó en diversos campos de la ciencia que pueden modelizarse a través de una función cuadrática. Una función de la forma F(x) = ax ²+ bx+c se denomina función de segundo grado o cuadrática. Donde a, b y c son números reales y a distinto de 0. Si representamos "todos" los puntos de una función cuadrática, obtendremos siempre una curva llamada parábola . La función cuadrática más sencilla es f(x) = x^2 cuya gráfica es

Trabajo Práctico de Límites

EET Nº 5.102  - CAMPO SANTO                                                              ANÁLISIS MATEMÁTICO

Curso: 2º 2º C S                                                                                                         2.011

LÍMITE EN UNA FUNCIÓN

         1.   Dadas las siguientes funciones

a) Hallar su dominio de definición.

           b) Completar las tablas que se indican.

           c) ¿Existe un número real al cual se aproxima  f(x) cuando x se acerca a x₀?.

      d) Calcular los límites indicados.

           e) Representar gráficamente.

i)           

x>1 x	f(x)	x<1 x	f(x)
2 1,5 1,1 1,01		0 0,5 0,9 0,99

ii)

x>0 x	f(x)	x<0 x	f(x)
0,5 0,2 0,1 0,01		-0,5 -0,2 -0,1 -0,01

   iii)                                                                                            iv)

x>1 x	f(x)	x<1 x	f(x)
2 1,5 1,1 1,01		0 0,5 0,9 0,99

x>1 x	f(x)
1,5 1,1 1,01

              ¿Es posible calcular ?Justificar.

       v)    

x>0 x	f(x)	x<0 x	f(x)
0,1 0,01 0,001		-0,1 -0.01 -0.001

                       

        2. A partir del gráfico dado, determinar los límites que se piden en cada caso

            a)            y                                                  

                                 3                                                             

                                 2                                                           

                                                         y = f(x)                 

                      -1                        3                    x

           

b)                               y                                                            

                                                                                                         y = f(x)   

                                                   3

                                                      2

                                          1

                                                         2                   4

                 -2       -1                                                             x

                                   -1                                       

                

c)

                                Y                                      y = f(x)

               ○                     3

                        

                                      2

                                      

                                      1                                

              -2                              1                     3                   x

         3. Dadas las siguientes funciones, se pide: hallar su dominio, calcular los límites indicados y representar gráficamente la función.    

                                                                                                               

 

                                                               

"TRANSFORMACIONES EN EL PLANO"

Definición:

Una figura en el plano sufre una transformación cuando cambia de posición sin analizar ni su tamaño ni su forma.

Las transformaciones en el plano se conocen con el nombre de movimientos en el plano.

Todas ellas mantienen la forma de las figuras, pero pueden disminuir el tamaño y cambiar la figura de posición.
 
Tipos de transformaciones:
 
Las transformaciones más usuales son las:
 
u   Traslaciones: son movimientos directos, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras, a las cuales deslizan según el vector.

http://www.vitutor.com/geo/vec/c_2.html

u  rotaciones ó giros: al igual que las traslaciones, son también movimientos directos.

 http://www.vitutor.com/geo/vec/c_3.html

u  simetrías, que pueden ser:

¥  central: Una simetría de este tipo coincide con un giro del mismo centro y ángulo 180º. Es, por tanto, un movimiento directo.



http://www.vitutor.com/geo/vec/c_4.html
¥  axial: son movimientos inversos porque para hacer coincidir una figura con su simétrica es necesario sacarla del plano y abatirla de nuevo sobre la otra cara.

u  homotecias.
http://www.vitutor.com/geo/vec/c_5.htmlFormación de figuras semejantes en las que los puntos correspondientes están alineados dos a dos con respecto a otro punto fijo.

Una homotecia de centro O y de razón a , lleva a toda recta que pasa por O a sí misma, y a una recta L que no pasa por O, a una recta L´, paralela a L.
Hemos de tener en cuenta que los lados aumentan si a>0, disminuyen si a<0 y se mantienen si a=1. Además, si a=1 decimos que los triángulos son congruentes, es decir, si los lados correspondientes son iguales y sus ángulos correspondientes son iguales.


Transformaciones en el arte: Trabajos de Escher
 Circle Limit  III

Rotaciones: En los extremos de este grabado pueden captarse claramente la rotación con respecto a un punto “centro” (donde se unen las aletas de los peces centrales.)

Simetría: La simetría aquí presente es la llamada “central” teniendo como centro un punto 0 o donde se juntan las aletas de los peces.

Traslaciones: estas tienen lugar en cada una de las partes que componen la figura, pero hemos de tener en cuenta que van unidas a una rotación en 120º. Esto lo podemos comprobar si miramos Los peces verde, amarillo y rojo en el centro de la figura.

                                                                       

Homotecia: Esta se puede observar claramente en los extremos de la figura, donde las figuras se ven notoriamente disminuidas

  Cielo e Infierno

Rotaciones: Los Vampiros y los ángeles del centro de la figura se encuentran en una rotación de 120º.

Simetría: La simetría aquí existente es la llamada “axial”, esto significa que si dividimos la figura mediante un eje, tanto los dibujos de la derecha como los de la izquierda se van a encontrar a la misma distancia de dicho eje. Podemos agregar también que esta figura tiene 3 ejes de simetría.

Traslaciones: estas no son fáciles de ubicar a simple vista pero si nos detenemos a observar los extremos de la figura se observa que los ángeles se trasladan de un extremo a otro de la misma, al igual que los vampiros.

Homotecia: Esta está presente en los ángeles que van disminuyendo de tamaño a medida que se acercan a los extremos de la figura al igual que con los demonios

Este mapa conceptual te guiará sobre que elementos debes tener en cuenta para dibujar las transformaciones.

A continuación la presente webquest te facilitará las actividades que debes realizar, haz click en el siguiente vínculo:

http://www.webquest.es/wq/transformaciones-en-el-plano